Porcentagem.

Utilizamos o cálculo de porcentagem constantemente no nosso cotidiano. Dois simples exemplos:

Ex.1) Uma loja lança uma promoção de 10% no preço dos seus produtos. Se uma mercadoria custa R$120,00, quanto a mercadoria passará a custar?

O desconto será de 10% do valor de R$120,00. Logo:

Retiramos, portanto, R$12,00 de R$120,00: 120 - 12 = 108
Passaremos a pagar, com a promoção, R$108,00.


Ex.2) Uma sala de aula possui 100 alunos, sendo que 40% são meninas. Qual a quantidade de meninas e de meninos?

A quantidade de meninas será:

E a de meninos será: 100 - 40 = 60.

Sugestão: Caso tenham dúvidas em multiplicação de frações, visitem a seção Frações, presente neste site, antes de iniciar o estudo de porcentagem.

Razão centesimal:

Como o próprio nome já diz, é a fração cujo denominador é igual a 100.

Exemplos:

(lê-se 10 por cento)

(lê-se 150 por cento)

Regra de três composta.

A regra de três composta, na matemática, é uma forma de se descobrir valores de grandezas a partir de outros valores já existentes. Um modelo reduzido deste método é a regra de três simples, utilizada quando a comparação se dá apenas entre três valores. A regra de três composta é utilizada quando se quer descobrir um único valor a partir de três, cinco ou mais valores já conhecidos, e tendo em conta que os valores referentes a uma mesma classe de objeto devem estar na mesma unidade de medida.

Exemplo 1
Temos o seguinte enunciado: "O dono de uma carpintaria sabe que precisa de 50 operários para fazer 10 estantes em 5 dias, mas sabendo ele que para fazer as estantes tem apenas dois dias, quantos operários vai precisar?", para resolver este problema adotaremos a seguinte lógica:

a) Vamos elaborar um esquema onde “x” é a incógnita.

Estantes Operários Dias
10 50 5
10 x 2

b) Se aumentarmos ( ↓ ) o número de operários, faz-se mais ( ↓ ) ou menos ( ↑ ) estantes? Caso tenha respondido que fazem mais ↓ , você acertou! Agora vamos assinalar no quadro.

Estantes Operários
10 50
↓ ↓
10 x

c) Se aumentarmos ( ↓ ) o número de operários, precisa-se de mais ( ↓ ) ou menos ( ↑ ) dias? Claro que é menos ( ↑ ). Vamos assinalar no quadro.

Operários Dias
50 5
↓ ↑
x 2

d) O quadro final e completo fica assim.

Estantes Operários Dias
10 50 5
↓ ↓ ↑
10 x 2

e) Vamos criar e resolver a equação.

Atenção que o número de dias foi invertido porque se trata de uma grandeza inversamente proporcional.

Fazendo as contas:



A carpintaria precisará de 125 operários.

Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160 m³ de areia. em 5 horas, quantos caminhões serão necessarios para descarregar 125 m³?
Horas Caminhões Areia em m³
8 20 160
5 x 125

Sempre onde estiver x a seta é para baixo, ou seja, diretamente proporcional. Ela pode estar em qualquer posição ou lugar. Sempre a seta é para baixo. Ficará assim]. Montando a proporção e resolvendo, ficará assim. Então, serão necessários 25 caminhões.

Regra de três simples.

A regra de três simples, na matemática, é uma forma de descobrir um valor a partir de outros três, divididos em pares relacionados cujos valores têm mesma grandeza e unidade. Além da regra de três simples existe também a regra de três composta.

O primeiro par de valores pode ser representado por e , e o segundo par por e .

Para realizar os cálculos é necessário se verificar a relação entre os pares de grandezas: se são diretamente ou inversamente proporcionais. De maneira mais prática, se quando o valor de crescer, o de também crescer, são grandezas diretamente proporcionais. O mesmo vale para e .

Quando grandezas são diretamente proporcionais, deve-se usar o seguinte modelo de cálculo:


Quando forem inversamente proporcionais, uma das frações do modelo acima deve ser invertida:


Percebe-se então que, quando e são inversamente proporcionais, e serão diretamente proporcionais.

[editar] Exemplo 1
Um atleta percorre 35km em 3h, mantendo o mesmo ritmo, em quanto tempo ele percorrerá 50km?

Montemos uma tabela:

Percurso (km) Tempo (h)
35km 3h
50km

Notem que as grandezas são diretamente proporcionais, ou seja, se aumentarmos o percurso, o tempo gasto pelo atleta também aumenta. Logo, devemos conservar a proporção:



Multiplicamos em cruzes:

<=>


Passamos o que multiplica por x para o denominador do outro lado:

<=>


4,29 horas corresponde a:

4 x 60 min = 4 horas

0,29 x 60 min = 17 minutos

Portanto, o atleta percorrerá 50km em aproximadamente 4h17min.

Plano Cartesiano.

O Sistema de Coordenadas Cartesianas, mais conhecido como Plano Cartesiano, foi criado por René Descartes com o objetivo de localizar pontos. Ele é formado por dois eixos perpendiculares: um horizontal e outro vertical que se cruzam na origem das coordenadas. O eixo horizontal é chamado de abscissa (x) e o vertical de ordenada (y). Os eixos são enumerados compreendendo o conjunto dos números reais. Observe a seguir uma figura representativa do plano cartesiano:




As coordenadas cartesianas são representadas pelos pares ordenados (x ; y). Em razão dessa ordem, devemos localizar o ponto observando primeiramente o eixo x e posteriormente o eixo y. Qualquer ponto que não se encontrar sobre os eixos, estará localizado nos quadrantes.
O Plano Cartesiano é muito utilizado na construção de gráficos de funções, onde os valores relacionados à x constituem o domínio e os valores de y, a imagem da função. A criação do Sistema de Coordenadas Cartesianas é considerada uma ferramenta muito importante na Matemática, facilitando a observação do comportamento de funções em alguns pontos considerados críticos.

Podemos associar o Plano Cartesiano com a latitude e a longitude, temas relacionados aos estudos geográficos e à criação do atual sistema de posicionamento, o GPS. O Sistema de Posicionamento Global permite que saibamos nossa localização exata na terra, desde que tenhamos em mão um receptor de sinais GPS, informando a latitude, a longitude e a altitude com o auxilio de satélites em órbita da Terra. Um exemplo de utilização do GPS são os aviões, que para não se colidirem são monitorados e informados em qual rota devem seguir viagem.

Grandeza inversamente proporcional

Temos: Um automovel faz um percurso em:


tempo velocidades
hora Km
1 90
2 45
3 30


1/2=45/90 1/3=30/90 2/3=30/45
90=90 30/30 90=90



Então:tempo e velocidade são grandezas inversamente proporcional.

Grandeza diretamente proporcional

Veja: Um automovel percorrre em:

tempo hora distÂncia
1 60
2 120
3 180


1/2= 60/120 | 1/3 = 60/180
120=120 | 180= 180


2/3=120/180
360=360


Então tempo e distância são grandezas diretamente proporcionais
Grandeza: tudo aquilo que podemos medir.

Razão

Veja:em uma classe há 14 meninos e 21 meninas

Qual é a razão entre o número de meninas e meninos:

21/14= 3/2 -> ´Três está para 2

Qual a razão entre o número de meninos e o número de meninas?

14-> antecedente
21 -> consequente


Mais exemplos na forma simplificada

15cm para 3m

15 = 5
300 100


40 cm para 8m

40 = 4 = 2 =1cm
800 80 40 20cm



12m para 20cm


12 =6 = 3m
20 10 5m


2cm para 20mm

20 = 10 = 5 = 1
20 10 5



8 meses para 1 ano

8 =2
12 3

Rent a Car

Resolução de problema através do sistemas

Veja: A soma de dois números é 35,e a diferença é 5
Quais são esses números ?

1° número:x
2° número:y


{x+y=35 1°
x-y=5 2° 20+y=35
y=35-20
2x=40 y=15
x=20


R: os números são 20 e 15


Em um estacionamento ,há 74 veículos entre carros e motos,num total de 264 rodas. Quantos são os carros e quantas são as motos nesse estacionamento?

Carros: x=58 Total de rodas: 264
Motos: y=16 Total de veículos:74


x+y=74.(2)
4x+2y=264.(-1)

2x+2y=148
-4x-3y=-264

-2x=-116.(-1)
2x=116
x=116/2
x=58

58+y=74
y=74-58
y=16

R: o número de carros é 58 e de motos é 16

Num quintal,há coelhos e galinhas.Sabendo-se que há 7 galinhas a mais do que coelhos e os pés desses animais somam 92,determine quantos são os coelhos e quantas são as galinhas nesse quintal.

Galinhas: x
Coelhos: y
Total de pés :92

{2x+4y=92 1°
x=7+y 2°
x=7+13
x=20


2.(7+y)+4y=92
+14+2y+4y=92
6y=92-14
6y=78
y=78/6
y=13

R: São 20 galinhas e 13 coelhos.


Luiz e João têm juntos 123 reais.Se Luiz tivesse a mais metade do que tem mais 1 real, teria o dobro de João. Quantos tem cada um ?

Luiz: x
João: y x=123-y 3°

{x+y=123 1°
x/2 +1=2y 2°

123-y/2+1/1=2y/1
123-y+2/2 =4y/2

-y-4y=-125
5y=-125.(-1)
5y=125
y=125/5
y=25

Resolução do sistema pelo método da adição

Resolução de sistema atráves do método da substituição

{x+y=11 1 - x=11
x-y=-1 2-Substituindo a 3 na 2


11-y-y=-1
-2y=-1-11
-2y=-12.(-1)
2y=12
y=12/2
y=6


Substituindo na 3

x=11-6
x=5
&={(5,6)}



{x-5y=8 1° x=8+5y 3°
3x+4y=5 2°

3.(8+5y)+4y=5 x=8+5.(-1)
+24+15y+4y=5 x=8-5
19y=5-24 x=3
19y=-19
y=-19/19
y=-1 &{(3,-1)}





{2x-y=5 1° -y=5-2x.(-1)
x+3y=13 2° y=-5+2x

x+3.(-5+2x)=13
x-15+6x=13 y=-5+2.(4)
x+6x=13+15 y=-5+8
7x=28 y=3
x=28/7
x=4
&={(4,3)}




{3x=y 1° x=y/3 3°
2x-3y=7 2° x=-3/3
x=-1
2/1.(y/3)-3y/1=7/1
2y/3-3y/1=7/1
2y-9y/3=21/3
-7y=21.(-1)
7y=-21
y=-21/7
y=-3 &={(-1,-3)}




{3x-2y=7 1° 3x=7+2y
x+4y=0 2° x=7+2y/3 3°
x=7+2.(-0,5)/3=7-1/3=6/3=2


7+2y/3+4y/1=0/1
7+2y+12y/3=0/3
14y=-7
y=-7/14 y=1/2 y=-0,5
&={(2,-0,5)}

Sistema de equação do primeiro grau com 2 incognitas

Veja: {x+y=6
x-y=1


Atravez de métodos iremos calcular os valores de x e y, que satisfaz as equações dadas

Logo: o par ordenado que satisfaz as equações é 3=x
2=y


3+2=5
3-2=1


temos :

2x+y=3

onde: x e y

São incógnitas

Verificando soluções para equação

( 2,-1)
2(2)+(-1)=3
4-1=3
3=3 ok

(4 -5 )
2.(4)+(-5)=3
8-5=3
3=3 ok


Considere a equação 5x+2y=9

a) O par ordenado (1,2) é solução da equação?

5.x+2.y=9
5.(1)+2.(2)=9
5+4=9
9=9 ok


b)O par ordenado (2,1) é solução da equação ?

5.(2)+2.(1)=9
10+2=9
12=9 F


Quais os pares ordenados abaixo são soluções da equação x-y=7
8-1=7 ok
3-10=7 ok

Problemas envolvendo equação e inequação

Veja : um número somado com o seu dobro é igual a 18. Qual é esse número ?

Número: x
dobro do n°: 2x

x+2x=28
3x=18
x=18/3
x=6


R: o número é 6


Temos: o triplo do número adicionado com sua metade é menor que o seu dobro diminuido de 60. Qual é esse número ?

Número: x
triplo do número: 3x
dobro do número: 2x
metade do número: x/2

3x+x/2<2x-60/1
6x+x/2<4x-120/2
7x=4x<-120
3x<-120
x<-120/3
x<-40


O número somado com o dobro do número é igual. A 180.Qual é esse número ?

x+2x=180
3x=180
x=180/3
x=60



O número diminuido de 8 é igual.Ao quadruplo do número adicionado com sua terça parte.Qual é esse número ?

x-8=4x+3
x-4x=3+8
-3x=11.(-1)
3x=-11
x=11/3


Quando Victor nasceu, Marina tinha 3 anos. Atualmente a soma das idades é 23 anos.Qual é a idade de Marina?

x+x+3=23
2x=23-3
2x=20
x=20/2
x=10

R: Marina tem 10 anos.


Qual o número que somado com seu triplo da -600?

x+3x=-600
4x=-600
x=-600/4
x=-150

Inequação do primeiro grau

Equação do primeiro grau

veja : 2x+1 =15
x-5=15


Onde:

2x +1=11

2x +1 = 1° membro
11= 2 ° membro

x= incógnita


temos :

x+6 = 20
x= ?


Método Prático para resolução das equações do primeiro grau

Exemplo: x+8=11
x=11-8
x=3
& { 3 }


x-4=30
x= 30+ 4
x=34
&{34}



2x+2=22
2x=22-2
2x=20
x=20/2
x=10
& { 10 }



x+6=9
x=9-6
x= 3
& { 3 }



x+1=11
x=11-1
x=10
& { 10 }




3x -15 = 45
3x=45+15
3x=60
x=60/3
x=20
& { 20 }

Potência com expoente inteiro

Exemplos: 5 -¹= ( 1/5 -¹) = 1/4

6 -¹=(1/6 ¹ ) = 1/6


2/3 -² = ( 3/2 ²)= 9/4


4 -¹ = ( 1/4 ¹) = 1/4


2 -¹=( 1/4 ¹ ) = 1/2


3/4 -² =( 4/3 ² ) = 16/9


Logo : iremos inverter a fração para tornar o expoente positivo, assim calcular a potência indicada.